Zadanie nr 6627984
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne , w których odcinek łączący punkt przecięcia przekątnych i podstawy z dowolnym wierzchołkiem podstawy ma długość 3 (zobacz rysunek).
Wyznacz wymiary tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.
Rozwiązanie
Niech będzie długością krawędzi podstawy graniastosłupa. Wtedy
Z drugiej strony
Mamy zatem
Objętość graniastosłupa jest więc równa
Dziedziną tej funkcji jest przedział
Liczymy pochodną funkcji .
Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla i ujemna dla . To oznacza, że funkcja jest rosnąca w przedziale i malejąca w przedziale . Największą objętość otrzymamy więc dla
Wtedy
i
Odpowiedź: