Zadanie nr 9198253

Rozwiąż równanie √3- 2sin 3xco s7x = sin 10x + 2 .

Rozwiązanie

Sposób I

Skorzystamy ze wzorów na sinus sumy i różnicy

sin (α+ β) = sinα cos β+ sin β cos α sin (α− β) = sinα cos β− sin β cos α.

Przekształcamy równanie.

√ -- --3- 2sin 3xco s7x = sin (3x+ 7x) + 2 √ -- 2sin 3xco s7x = sin 3x cos7x + sin 7x cos3x + --3- √ -- 2 3 − ----= sin 7x cos3x − sin 3x cos7x √2-- − --3-= sin (7x− 3x) = sin 4x. 2

Szkicujemy teraz wykres sinusa.

Z wykresu odczytujemy rozwiązania.

4x = − π-+ 2kπ lub 4x = − π + π- + 2kπ / : 4 3 3 π kπ π kπ x = − ---+ --- lub x = − --+ ---. 12 2 6 2

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzoru na różnicę sinusów

α − β α + β sinα − sin β = 2 sin ------co s------ 2 2

Aby móc zastosować ten wzór szukamy i tak, aby

{ α− β -2--= 3x α+-β= 7x 2

Dodajemy i odejmujemy równania stronami i mamy α = 1 0x , β = 4x . Równanie możemy więc zapisać w postaci

√ -- 10x-−--4x 1-0x+--4x --3- 2 sin 2 cos 2 = sin 10x + 2 √ -- sin10x − sin 4x = sin 10x + --3- √ -- 2 3 sin 4x = − ---. 2

Rozwiązania odczytujemy tak samo jak w poprzednim sposobie.
Odpowiedź: x = − π12 + kπ2-- lub x = − π6 + k2π- , k ∈ Z