/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/W geometrii

Zadanie nr 9852508

Długości boków trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Obwód trójkąta jest równy 33, a cosinus największego kąta jest równy 16 . Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od szkicowego rysunku i oznaczmy boki trójkąta przez a,a+ r i a + 2r .

ZINFO-FIGURE

Ponieważ w trójkącie naprzeciw większego kąta leży większy bok, kąt o cosinusie 16 leży naprzeciw boku długości a + 2r . Z podanego obwodu mamy

33 = a + (a + r)+ (a+ 2r) = 3a + 3r ⇒ r = 11 − a .

Zatem boki trójkąta mają długości a , a + r = 11 i a+ 2r = 22− a . Napiszmy teraz twierdzenie cosinusów.

AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2AB ⋅ BC cos α 1 (22 − a)2 = 11 2 + a2 − 22a ⋅- 6 484 − 44a + a 2 = 121 + a2 − 11-a 3 121 3 363 = ----a ⇒ a = 363 ⋅---- = 9. 3 12 1

Najdłuższy bok trójkąta ma więc długość

22 − a = 13 .

Obliczmy jeszcze sinus największego kąta

∘ ------- √ --- ∘ -------2-- -1- --35- sin α = 1− cos α = 1 − 36 = 6 .

na mocy twierdzenia sinusów promień R okręgu opisanego na tym trójkącie spełnia warunek

√ --- 2R = AC---= √13-= √78--= 78--3-5. sin α --35- 35 35 6

Stąd √ -- 39-35 R = 35 .  
Odpowiedź: √-- R = 393355

Wersja PDF
Rozwiązanie Losuj ponownie