/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2024

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki
Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom podstawowy 20 kwietnia 2024 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(1 pkt)

Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.


ZINFO-FIGURE


Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
A) |x − 21,5| ≥ 595 B) |2x − 43| ≥ 595
C) |x− 43| ≥ 297,5 D) |2x− 21,5| ≥ 297,5

Zadanie 2
(1 pkt)

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x wyrażenie ∘3√----√----√--- 3x ⋅ 4x ⋅ 6x jest równe
A) √ -- 4x B) √ -- 36x C) 1√8x-- D) 6√x--

Zadanie 3
(1 pkt)

Pan Łukasz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości 5% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania pan Łukasz odebrał z tego banku wraz z odsetkami kwotę 5292 zł (bez uwzględnienia podatków). Kwota wpłacona przez pana Łukasza na tę lokatę była równa
A) 4800 zł B) 4400 zł C) 4500 zł D) 4600 zł

Zadanie 4
(1 pkt)

Liczba log 1-+ lo g 9 3 27 3 jest równa
A) (− 1) B) 1 3 C) 3 D) 10

Zadanie 5
(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba n 3 + 3n2 − 28n jest podzielna przez 6.

Informacja do zadań 6.1 – 6.4

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y ) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f , oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.


ZINFO-FIGURE

Zadanie 6.1
(1 pkt)

Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości z przedziału [− 6,0 ] .

Zadanie 6.2
(1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział
A) (− ∞ ,2] B) (− ∞ ,− 8] C) [2,+ ∞ ) D) [− 8,+ ∞ )

Zadanie 6.3
(2 pkt)

Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Wzór funkcji f można przedstawić w postaci:
A)  1 f (x) = 2(x − 2 )(x + 6) B) f (x) = 12(x + 2)2 − 8
C) f(x ) = 1(x + 2)(x − 6 ) 2 D)  1 2 f (x) = 2(x − 2) − 8

E) f(x) = 2(x+ 2)(x − 6) F) f (x) = 2(x + 2)2 − 8

Zadanie 6.4
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa g jest określona za pomocą funkcji f następująco: g(x ) = f(x + 1) + 1 . Fragment wykresu funkcji y = g(x) przedstawiono na rysunku


ZINFO-FIGURE


Zadanie 7
(1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od ( ) − 12 , ( ) − 13 , 0 i 13 wartość wyrażenia

---9x2-−-1--- 4x2-+-4x-+-1- 6x 2 + 5x+ 1 ⋅ 6x2 − 2x

jest równa wartości wyrażenia
A)  -1 1 + 2x B) 3 -1 2 + 2x C) 23 + 31x D) x + 2x

Zadanie 8
(1 pkt)

Podstawa CD trapezu równoramiennego ABCD , który nie jest równoległobokiem, ma równanie y = x+ 3 . Ponadto A = (− 2,− 4) i B = (7,5) . Oś symetrii tego trapezu ma równanie
A) g(x ) = x− 2 B) g(x) = −x + 3 C) g(x ) = −x − 6 D) g (x) = x + 2

Zadanie 9
(1 pkt)

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

− 2 (x + 3) ≥ 2-−-x- 3

jest przedział
A) (− ∞ ,− 4] B) (− ∞ ,4] C) [− 4,+ ∞ ) D) [4,+ ∞ )

Zadanie 10
(3 pkt)

Rozwiąż równanie 12x 3 − 18 = 27x − 8x 2 .

Zadanie 11
(1 pkt)

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = ax+ b , gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji f w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) .


ZINFO-FIGURE


Liczba a oraz liczba b we wzorze funkcji f spełniają warunki:
A) a > 0 i b > 0 B) a > 0 i b < 0 C) a < 0 i b > 0 D) a < 0 i b < 0

Zadanie 12
(1 pkt)

Pięciowyrazowy ciąg ( 27 4) − 4 ,x,− 3,y ,− 3 jest geometryczny i nie wszystkie jego wyrazy są ujemne. Iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu jest równy
A) 81 B) − 243 C) 243 2 D)  81 − 2

Zadanie 13
(1 pkt)

Równanie

 (x − 4)(x 2 − 4) --2------------3-----------= 0 (x − 6x + 8)(x + ax + 5)

z niewiadomą x nie ma rozwiązań rzeczywistych. Liczba a jest więc równa
A) 6,5 B) 4 C) − 1,5 D) − 2

Zadanie 14
(3 pkt)

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa  √ -- 288 3 . Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze α taki, że tg α = 4 3 .


ZINFO-FIGURE


Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa.

Informacja do zadań 15.1 – 15.3

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y = f(x ) (zobacz rysunek).


ZINFO-FIGURE

Zadanie 15.1
(1 pkt)

Zapisz poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności f(x ) ≤ 1 .

Zadanie 15.2
(1 pkt)

Dziedziną funkcji f jest zbiór
A) [− 1,1)∪ (1 ,3] B) [− 1,3] C) (− 1,1) ∪ (1,3)

D) [− 5,− 1]∪ [1,5] E) (− 6,5) F) (− 6,− 2)∪ (1,5)

Zadanie 15.3
(1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji y = f(x − 2) − 2 jest zbiór
A) [− 3,1] B) [− 1 ,3 ] C) (− 8,− 4) ∪ (− 1,3)

D) [− 5,− 1]∪ [1,5] E) [1,5] F) [− 5,− 3]

Zadanie 16
(2 pkt)

Pan Tomasz spłacił pożyczkę w wysokości 26760 zł w 24 ratach. Pierwsze 13 rat miało tą samą wysokość, a każda kolejna rata była o 60 zł mniejsza od poprzedniej. Oblicz kwotę pierwszej raty.

Zadanie 17
(1 pkt)

Dane są proste k i l o równaniach

 1 k : y = − -x − 9 2 l : y = (2m + 1)x+ 11.

Proste k oraz l są równoległe, gdy
A)  ( 1) m = − 4 B)  1 m = 4 C) m = 3 4 D)  ( ) m = − 3 4

Zadanie 18
(1 pkt)

Dla każdego kąta ostrego α wyrażenie tg2α + ---1--- sin2α−1 jest równe
A) 1 B)  2 1 + sin α C) cos2α D) − 1

Zadanie 19
(1 pkt)

W rombie ABCD o polu  √ -- 6 3 dłuższa przekątna AC tworzy z bokiem AB kąt o mierze 30∘ (zobacz rysunek).


ZINFO-FIGURE


Długość przekątnej AC jest równa
A) 6 B) 9 C)  √ -- 6 3 D) 6√ 2-

Zadanie 20
(1 pkt)

Punkty A ,B ,C leżą na okręgu o środku w punkcie O . Kąt ACO ma miarę 75∘ (zobacz rysunek).


ZINFO-FIGURE


Miara kąta ostrego ABC jest równa
A) 10∘ B) 1 5∘ C) 35∘ D) 20∘

Zadanie 21
(1 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 15. Przekątna ściany bocznej graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod α takim, że  3 cosα = 4 . Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa
A) 25 B)  √ -- 1 5 2 C)  √ -- 10 2 D) 20

Zadanie 22
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) , punkt (− 6,8) jest punktem przecięcia prostych o równaniach
A) 2x + 3y = 12 i − x + y = − 14 B) 3x + 2y = − 2 i − 2x + y = 20
C) x + y = 2 i x − 2y = 4 D) x− y = − 14 i 2x + y = 10

Zadanie 23
(1 pkt)

Pole trójkąta równobocznego T1 jest równe  √- 6,25⋅-3 4 . Pole trójkąta równobocznego T 2 jest równe 56,25⋅√3 ---4--- .
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3.

Trójkąt T 2 jest podobny do trójkąta T 1 w skali

A) 5,B) 3,

ponieważ

1)pole trójkąta T2 jest 25 razy większe od pola trójkąta T1 .
2) bok trójkąta T 2 jest o 5 dłuższy od boku trójkąta T 1 .
3) bok trójkąta T2 jest 3 razy dłuższy od boku trójkąta T1 .

Informacja do zadań 24.1 i 24.2

Na diagramie poniżej przedstawiono ceny ogórków w szesnastu wybranych sklepach.


ZINFO-FIGURE

Zadanie 24.1
(1 pkt)

Mediana ceny kilograma ogórków w tych wybranych sklepach jest równa
A) 4,80 zł B) 4,90 zł C) 5,00 zł D) 5,10 zł E) 5,20 zł

Zadanie 24.2
(1 pkt)

Średnia cena kilograma ogórków w tych wybranych sklepach, zaokrąglona do dwóch miejsc po przecinku, jest równa
A) 5,10 zł B) 5,14 zł C) 5,11 zł D) 5,13 zł E) 5,12 zł

Zadanie 25
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A = (− 17,− 11) i B = (43,− 31) są wierzchołkami równoległoboku ABCD . Punkt S = (2 3,9) jest środkiem symetrii tego równoległoboku. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Równoległobok ABCD jest rombem. PF
Równoległobok ABCD jest prostokątem.PF

Zadanie 26
(2 pkt)

E–dowód ma zapisany na pierwszej stronie specjalny sześciocyfrowy numer CAN, który zabezpiecza go przed odczytaniem danych przez osoby nieuprawnione. Oblicz, ile jest wszystkich sześciocyfrowych numerów CAN o różnych cyfrach, spełniających warunek: trzy pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy mniejszej niż (− 2) .

Zadanie 27
(1 pkt)

Ze zbioru liczb {1 ,2,3,4,5,6} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb, których suma dzieli się przez 9 jest większe od 0,1. PF
Prawdopodobieństwo tego, że pierwsza liczba dzieli drugą jest mniejsze niż 0,38. PF

Zadanie 28
(1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem a = (− 1)n+ 1 ⋅ n−1 n 2 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Piąty wyraz tego ciągu jest równy
A) 2 B) (− 2) C) 3 D) (− 1)

Zadanie 29
(4 pkt)

Działka ma kształt trójkąta o podstawie |AB | = 4 00 m . Wysokość trójkąta opuszczona na podstawę AB jest równa 125 m, a jego kąty CAB i CBA są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie AB tego trójkąta, a dwa pozostałe – E oraz F – na bokach AC i BC trójkąta (zobacz rysunek).


ZINFO-FIGURE


Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.

Arkusz Wersja PDF
spinner