/Szkoła średnia/Kombinatoryka/Liczba osób

Zadanie nr 6029791

Jacek ustawia n książek na półce. Wśród tych książek są dokładnie 3 książki historyczne. Liczba wszystkich możliwych ustawień tych książek jest 117 razy większa od liczby wszystkich takich ustawień, w których książki historyczne stoją obok siebie (w dowolnej kolejności). Oblicz n .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Liczba ustawień n książek na półce jest równa n! . Obliczmy, ile jest ustawień, w których 3 książki historyczne stoją obok siebie. Najpierw w dowolny sposób ustawiamy pozostałe (n − 3) książki, potem na (n − 2) sposoby możemy wśród nich umieścić grupę książek historycznych. Na koniec same książki historyczne możemy ustawić na 3! sposobów. W sumie jest więc

(n− 3)!⋅(n − 2 )⋅3! = 6(n − 2 )!

takich ustawień. Pozostało teraz rozwiązać równanie

----n!---- n(n-−-1-)(n−--2)! n(n-−--1) 117 = 6(n − 2)! = 6(n − 2)! = 6 / ⋅6 2 0 = n − n − 70 2 2 Δ = 1 + 2808 = 2809 = 53 1-−-53- 1+--53- n = 2 < 0 lub n = 2 = 2 7.

 
Odpowiedź: n = 27

Wersja PDF
Rozwiązanie Losuj ponownie